Schema des Bevölkerungsmodells

Simulationsbasis  (Powersim Studio 7)

Im Zentrum des obigen Diagramms die Symbole (Kästen) für die vier zeitabhängigen Bestandsgrößen Kinder, ErWachsene, Ledige und Alte. Die Kreise an Doppellinien mit angesetzten Pfeilspitzen symbolisieren Flüsse von Personen, wobei die Richtung der Pfeilspitzen am Ende der Doppellinien Zu- oder Abflüsse festlegen. Freie Kreise ohne angesetzte Pfeilspitzen stehen für Variable, die von Bestandsgrößen, anderen Variablen und Konstanten abhängen können; dicke Pfeile an Variablen legen fest, ob deren Werte ein- oder ausgegeben werden (in oder aus Excel-Tabellen). Die Rauten symbolisieren Konstanten. Die einfachen schwarzen Linien stellen Informationsflüsse in der durch die Pfeilspitze angegebenen Richtung dar.

Folgende Personenflüsse werden benötigt:

KEW: K /Jahr, die in den Bestand EW wechseln, KEW = K/KEWzeit;    KEWzeit Verweildauer im Bestand K

KL: K/Jahr, die in den Bestand L wechseln, KL = K x VLEW/KEWzeit,      VLEW bestimmt das Verhältnis von Ledigen zu Erwachsenen

EWA: EW/Jahr, die in den Bestand A wechseln, EWA = EW/EWAzeit;   EWAzeit Verweildauer im Bestand EW (fruchtbare Zeit einer Frau)

LA: L/Jahr, die in den Bestand A wechseln, LA = L/EWAzeit

GGP: Geburten/Jahr für eine geschlossene Population, GGP = EW x Frate/2; Frate = F/EWAzeit. Frate ist die Zahl der Geburten pro Jahr einer Frau; F die Fertilität, die Zahl der Geburten einer Frau in ihrem Leben; (Der Faktor 2, weil nur die Hälfte der Erwachsenen Frauen sind);

TG: Zahl der Toten pro Jahr in der Gruppe G, TG = SRG x G; G = K, EW, L, A; SRG: Sterberate der Gruppe G, zur Berechnung von SRG siehe im Text dieser Seite.

MovEW: Zahl der zu- oder abwandernden EW pro Jahr, MovEW =  - Wrate (Das Minuszeichen, weil MovEW als Abfluss definiert ist). Zur Berechnung von Wrate siehe im Text dieser Seite.

MovK: Zahl der zu- oder abwandernden K pro Jahr, MovK =  MovEW/W1;   W1 bestimmt das Verhältnis der Wanderungsraten K zu EW;

MovA: Zahl der zu- oder abwandernden A pro Jahr, MovA = MovEW/W2;     W2 bestimmt das Verhältnis der Wanderungsraten A zu EW;

Ein- und Ausgabevariablen sind:

GOP_in: Zahl der Geburten/Jahr

T_in: Zahl der Toten/Jahr; für Jahre, in denen T unbekannt ist, wird T aus den mittleren Sterberaten berechnet; siehe im Text dieser Seite

POP_out: Gesamtzahl der Einwohner (K+EW+L+A)

K_out: Zahl der Kinder

EW_out: Zahl der Erwachsenen

A_out: Zahl der Alten

VKEW_out: Zahl der Kinder pro Elternpaar, VKEW_out = K/EW x 2

Entwicklung der Einwohnerzahlen und der Zahlen von Kindern, Erwachsenen und Alten als ein Ergebnis der Simulation   F  =8,2; KEWzeit = 22 Jahre; EWAzeit = 23 Jahre; VLEW = 0,1; Geburten- und Totenzahlen aus Bevölkerungsstatistik,  alle anderen Parameter wie im Text links

Interpretation der Diagramme in Bevölkerungsentwicklung und Buch II

Flörsheim musste im 17. Jhdt. neben kleineren Katastrophen mit zwei großen klarkommen, dem 30-jährigen Krieg und der Pestepidemie 1666. Es wäre von historischem Interesse, die Auswirkungen dieser Ereignisse auf die Entwicklung der Bevölkerung Flörsheims zu kennen. Leider sind für Flörsheim im 17. Jhdt.  keine Einwohnerzahlen überliefert, erst für 1730, 1740 und 1803.

Einwohnerzahlen zu rekonstruieren durch (Rück)Extrapolation in die Vergangenheit  ausgehend von den für später bekannten Einwohnerzahlen  führt unweigerlich in die Irre, wenn Zu- und Abwanderungen nicht berücksichtigt werden (Details  in Buch II). Flörsheim, mitten im Rhein-Main-Gebiet, war seit den Anfängen dieser Siedlung nie eine geschlossene Population. Es gab zu allen Zeiten ein ständiges  Kommen und Gehen. 1656 stammen 80 % der Hausvorstände nicht aus Flörsheim! Allerdings ist die Erfassung und Quantifizierung von Wanderungsbewegungen das Problem der historischen Demografie schlechthin.

[Pfister 2007] bemerkt dazu: „Die Untersuchung der Wanderungen ist wohl die empfindlichste Schwachstelle der historisch-demografischen Forschung. Die klassischen Familienrekonstitutions-Studien erlauben praktisch nur eine Skizzierung der Heiratskreise d. h. der Herkunftsorte, aus denen die in einer Kirchengemeinde verzeichneten Heiratspartner stammen. Die Anwendung der nichtnominativen Methode zur Berechnung von Wanderungs-Saldi zwischen zwei Zählungen setzt genaue Einwohnerzahlen in kürzeren Abständen mit ähnlichen Geburten und Sterbezahlen voraus (die im 17. und 18. Jhdt. nie gegeben sind, Anm. des Autors). Doch ist daraus nicht ersichtlich, wieviele Menschen tatsächlich zu- oder wegwanderten, noch lässt sich daraus etwas über die Motivation der Wandernden erschließen“.

Da man Wanderungsbewegungen im 17. Jhdt. weder den Kirchenbüchern noch anderen Dokumenten entnehmen kann, bleibt nur die Simulation auf der Basis eines Bevölkerungsmodells, das mit Zu- und Abwanderungen umgehen kann. In den heutigen Naturwissenschaften ist die Modellbildung komplexer dynamischer Systeme gang und gäbe, meines Wissens ist aber bisher noch kein Modell für eine Bevölkerung unter Berücksichtigung von Zu- und Abwanderung entwickelt worden.

In der Sprache der Physik stellt die Bevölkerung eines Dorfes ein dynamisches System bestehend aus Menschen dar, das sich, von einem bestimmten Ausgangszustand mit der Zeit verändert – entwickelt. Die Beschreibung des Schicksals (Geburt, Heirat, Nachkommen, Tod) aller Individuen des Dorfes und deren Wechselwirkung untereinander und mit der Welt außerhalb des Dorfes unter dem Einfluss innerer und äußerer Randbedingungen ist im Einzelnen sicher nicht praktikabel. Das wäre heute zwar mathematisch machbar, beinhaltet aber die Gefahr, dass man vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr sieht.

Es ist sinnvoll, die Dorfbevölkerung durch ein pauschalierendes Modell zu beschreiben. Ein Modell reduziert die Wirklichkeit in abstrahierender Weise auf die wesentlichen Bestandteile und Wechselwirkungen der Dorfbevölkerung. Dabei spielen Mittelwerte relevanter Eigenschaften und Einflussgrößen eine entscheiden Rolle.

In einer Bevölkerung ist der entscheidende Vorgang, der die Dynamik des Systems bestimmt, die Generation von Nachkommen. Es liegt daher nahe, die Menschen des Dorfes in drei Gruppen zu unterteilen: eine erste Gruppe von Individuen, die altersbedingt noch keine Nachkommen generieren, im folgenden „Kinder“ genannt, eine zweite Gruppe, die Nachkommen generiert, im folgenden „Erwachsene“ genannt (Erwachsene in diesem Modell sind Frauen und Männer im Alter zwischen 22 und 45 Jahren, siehe Bevölkerungsstatistik) und eine dritte Gruppe, die ebenfalls altersbedingt keine Nachkommen mehr generieren kann, im folgenden „Alte“ genannt. Der Bestand der Gruppe Erwachsene bestimmt nach Maßgabe der Fertilität der Frauen die Geburtenrate und damit die Zunahme des Bestandes der Gruppe Kinder. Gleichzeitig reduziert sich der Bestand an Kindern nach Maßgabe des mittleren Heiratsalters durch Übergang in die Gruppe Erwachsene und erhöht deren Bestand was wiederum zu einer höheren Generation von Kindern führt.
Physikalisch gesprochen handelt es sich um ein positiv rückgekoppeltes System, wo der Erwachsenenbestand über die Geburtenrate den Kinderbestand erhöht, was zukünftig wiederum den Erwachsenenbestand vergrößert. Der Erwachsenenbestand reduziert sich nach Maßgabe des Endes der fruchtbaren Lebensspanne der Frauen durch Übergang in die Gruppe Alte, deren Bestand dadurch wächst. In allen drei Gruppen reduzieren sich die Bestände durch Todesfälle nach Maßgabe der altersgruppenspezifischen Sterberaten. Dabei sind diese Sterberaten aufgrund von Kriegen und anderer Katastrophen wie Epidemien und Hungersnöten zeitabhängig.

Die eben beschriebene Dynamik ist die Dynamik eines geschlossenen Systems: Es gibt keine Zu- oder Abwanderungen. In einer solchen geschlossenen Population würde die Gesamtzahl der Individuen bei konstanter Fertilität und zeitlich konstanten Sterberaten exponentiell wachsen1

Die obere Abb. zeigt eine vereinfachte Darstellung des Modells. Der blaue, braune und violette Kasten symbolisiert den jeweiligen zeitabhängigen Bestand an Kindern, Erwachsenen und Alten. Die dicken Pfeile stehen für Flüsse von Personen: Aus Kindern werden Erwachsene, und aus Erwachsenen werden Alte, was den jeweiligen Ausgangsbestand reduziert und den nächsten Bestand vergrößert. Nicht aus allen Kindern werden nachkommengenerierende Erwachsene, ein Teil bleibt kinderlos. In der detaillierten Simulationsbasis (untere Abb.) wird dies durch eine weitere Bestandsgröße “Ledige”  berücksichtigt. Alle drei Bestände reduzieren sich durch Sterbefälle nach Maßgabe der altersgruppenspezifischen Sterberaten SRK, SRE, und SRA. Der Bestand an Erwachsenen und die Fertilität F steuern die Zahl der Geburten pro Jahr, die den Bestand an Kindern erhöhen. Die dünnen Pfeile stehen für Informationsflüsse.

Das ist die Dynamik des geschlossenen Systems, deshalb „Geburten GP“, GP für geschlossene Population. Wie erwähnt, würde bei konstanter Fertilität und konstanten Sterberaten die Population (Summe aus Kindern, Erwachsenen, Ledigen und Alten) und damit auch die Zahl der Geburten/Jahr exponentiell wachsen. Dieser so berechnete Geburtenverlauf GP unterscheidet sich aber von dem wahren Geburtenverlauf OP (offene Population), siehe Bevölkerungsstatistik,  da der Bestand an Erwachsenen des geschlossenen Teilsystems nicht den wahren Geburtenverlauf  generieren kann. Die Differenz zwischen den Geburtenzahlen GP und OP muss auf einen zu hohen oder zu niedrigen Bestand an Erwachsenen zurückgehen (nur Erwachsene generieren Kinder). Aus der Differenz der Geburten OP und GP lässt sich für jedes Jahr direkt die Zahl der Erwachsenen berechnen (dunkelvioletter Kasten), um die deren Bestand vergrößert oder verkleinert werden muss, um die realen Geburtenzahlen hervorzubringen. Auf ein Jahr bezogen ist diese Zahl nichts anderes als die Nettowanderungsrate. Die Nettowanderungsrate ist die Zahl der Zuwanderer minus der Zahl der Abwanderer pro Jahr.
Der wesentliche „Trick“ in diesem Modell besteht also darin die wahren Geburtenzahlen mit denen einer geschlossenen Population zu vergleichen, um aus der Differenz die Nettowanderungsrate zu bestimmen. Mathematisch-physikalisch gesprochen macht man aus einem einfachen, positiv rückgekoppelten System einer geschlossenen Population ein geregeltes System. Aus einem Soll-Ist-Vergleich (Geburten OP - Geburten GP) wird die Stellgröße Nettowanderung abgeleitet, die den Erwachsenenbestand nachregelt.

Um mit diesem Modell arbeiten zu können, muss man es in die Sprache der Mathematik übersetzen. Das kann heute sehr elegant mit Hilfe von Computerprogrammen wie etwa Powersim Studio 7 geschehen, die auf die Simulation dynamischer Systeme spezialisiert sind. Mit Hilfe einer grafischen Benutzeroberfälche lassen sich alle systemrelevanten Größen und deren Abhängigkeiten formulieren. (untere Abb.) Solche Programme berechnen die zeitliche Entwicklung des Systems iterativ, also in einzelnen Schritten Jahr für Jahr. Im vorliegenden Fall wird ausgehend von festen Anfangswerten für die Bestandsgrößen Kinder, ErWachsene, Ledige und Alte, die natürlich bekannt sein müssen (siehe Bevölkerungsstatistik), über die Geburtenrate des geschlossenen Teilsystems und die Sterberaten der Bestand für das nächste Jahr berechnet. Dabei werden die berechneten Geburtenzahlen mit den wirklichen Geburtenzahlen verglichen und, wenn erforderlich, der Erwachsenenbestand korrigiert. Diese Korrektur liefert die Nettowanderungsrate in diesem Jahr. Das ist dann der Ausgangszustand für die Berechnung der Bestandsgrößen für das nächste Jahr usw.

Aus der Differenz der Geburtenzahlen OP-GP lässt sich lediglich die Nettowanderungsrate der Erwachsenen berechnen. Man muss natürlich davon ausgehen, dass auch Kinder und Alte an den Wanderungsbewegungen teilnahmen (die Wanderungsrate von Ledigen fällt zahlenmäßig nicht ins Gewicht). In der Simulationsbasis wird das durch entsprechende Personenflüsse berücksichtigt Deren Anteile muss man relativ zur bekannten Wanderung von Erwachsenen schätzen, Näheres unter Zuwanderung im 17. Jhdt..

Die wesentlichen Eingabegrößen für die Simulation sind: Der Verlauf der Geburten- und Totenzahlen von 1620 bis 1800, die Fertilität der Frauen, die Verweildauern in den Beständen K, EW und L, der relative Anteil von Ledigen an Erwachsenen, die Nettowanderungsraten von Kindern und Alten sowie die mittleren, altersgruppenspezifischen Sterberaten zur Berechnung der Totenzahlen in Zeiten, für die Kirchenbuchangaben nicht brauchbar sind. Dazu Näheres  auf der Seite Bevölkerungsstatistik.

 

Berechnung der Wanderungsrate:

Es gilt allgemein G = EW x Frate/2, also EW = G x 2/Frate; setzt man EWGP = GGP x 2/Frate und EWOP = GOP x 2/Frate erhält man für die Differenz EWOP-EWGP = (GOP-GGP) x 2/Frate; diese Differenz pro Zeiteinheit ist die Nettowanderungsrate der Erwachsenen:

Wrate = 2 x (GOP-GGP)/Frate/Zeit  mit Zeit = 1 Jahr und damit MovEW = - Wrate

Bei der Wahl der Faktoren muss man mit der Wahl von W1 und W2 unterscheiden, ob es sich um eine Zu- oder eine Abwanderung handelt. Ist die Nettowanderungsrate 0 oder klein, spielen diese Faktoren keine Rolle. Als Ausgangswerte werden W1 = 1.000 und W2 = 1.000 gesetzt, da mit Fortschreiten der Iteration ab 1620 zuerst eine ausgeprägte Einwanderung stattfindet ohne Zuwanderung von Kindern oder Alten, siehe Zuwanderung im 17. Jhdt.) . Für die Abwanderung ab 1755, wo Eltern mit ihren Kindern aber nur wenige Alte abwandern, werden W1 = 0,7 und W2 = 5 gesetzt. Da die mittlere Zahl der Kinder pro Elternpaar etwa drei beträgt, kommen auf einen abwandernden Erwachsenen etwa 1,5 abwandernde Kinder. Mit W2 = 5 ist angenommen, dass abwandernde Alte 20 % der abwandernden Erwachsenen ausmachen. Die Veränderung von W1 und W2 erfolgt durch Abfrage der logischen Variablen „Sprung“, die ab 1750 den Wert 1 annimmt. Wrate0 ist eine Hilfskonstante, mit deren Abfrage die Wanderung „abgeschaltet“ werden kann.

 

Berechnung der mittleren Sterberaten:

Für Zeiten, in denen die Totenzahlen T, TK, TEW, TL und TA ) nicht bekannt sind (Eintragungslücken, Falscheinträge, siehe Bevölkerungsstatistik), werden in der Simulation mittlere Sterberaten für K, EW, L und A benutzt.

Für die Gesamtzahl der Toten/Jahr muss gelten T = SRK x K + SREW x (EW + L) + SRA x A. Daraus folgt für SRK: SRK = T/(K + SRVEW x (EW + L) + SRVA x A), wobei SRVEW = SREW/SRK und SRVA = SRA/SRK. Zur Berechnung von SRK wird die Zahl der Toten/Jahr der Eingabedatei T_in entnommen.
In Zeitabschnitten, wo T nicht bekannt ist  wird SRK gleich der mittleren Kindersterberate SRK0 gesetzt. Bleibt die Bestimmung von SRK0, SRVEW und SRVA.
Für SRK gilt SRK x K = TK = 0,6 x T (60 % der Toten sind Kinder). Für 1620 folgt aus der Altersverteilung („Alterspyramide“) K = 275. Der mittlere Wert für T um 1620 ist 27/Jahr und damit SRK0 = 0,06/Jahr. SRK0 wurde hier für um 1620 bestimmt. Dieser Wert lässt sich für andere Zeitabschnitte ohne Nettowanderung mit bekanntem T verifizieren (mit entsprechend anderer Altersverteilung).
Die relativen Anteile von TK, TEW + TL und TA an den Gesamttoten pro Jahr ist 60 %, 12 % und 28 %. Mit diesen Werten lassen sich SRVEW und SRVA berechnen: Es gilt  SREW x (EW + L) = TEW + TL = 0,12 x T und SRA x A = TA = 0,28 x T und damit: SRVEW = 0,20 x K/(EW + L) und SRVA = 0,47 x K/A.
Für 1620 sind die Anfangsbestände K = 275, EW + L = 200 und A = 135, daraus folgt SRVEW = 0,27 und SRVA = 0,9. Diese Werte lassen sich für andere Zeiträume verifizieren. Die mittleren Sterberaten für EW und A sind damit   SREW0 = 0,016/Jahr und  SRA0 = 0,057/Jahr
.

 

Berechnung der Anfangsbestände K, EW, L und A

Damit die Iteration beginnen kann, müssen die Anfangsbestände K, EW, L und A für 1620 bekannt sein Dabei sind die genauen Anfangsbestände nur für die Bevölkerungsentwicklung in den ersten Jahre nach Iterationsbeginn wichtig. Mittel- und langfristig entwickelt sich die Bevölkerung vollkommen unabhängig von den Anfangsbeständen. “Die Bevölkerungsentwicklung vergisst ihren Ausgangszustand”. Das lässt sich in diesem Simlulationsmodell leicht verifizieren, aber auch aufgrund elementarer mathematischer Überlegungen darstellen (Ergodensatz der Bevölkerungsstatistik, [Feichtinger 1973]).

Die Zahl der Erwachsenen um 1620 lässt sich aus der Zahl der Geburten/Jahr berechnen, da die bekannte Zahl der Geburten/Jahr  proportional zur Zahl der Erwachsenen sein muss.

Genau genommen proportional zur Zahl der Frauen; ohne große Fehler zu machen, kann man die Zahl der Frauen als die Hälfte der Zahl der Erwachsenen setzen. Die Zahl der Geburten/Jahr ist bei Fertilität F und fruchtbarer Zeit der Frauen EAzeit gegeben durch G = EW x F / EWAzeit / 2.  F/EWAzeit ist die Geburtenrate. Damit ist die Zahl der Erwachsenen bekannt

Bei einer mittleren Geburtenzahl von 32/Jahr (1620), EWAzeit = 23 Jahre und F = 8,2 beträgt die Zahl der Erwachsenen 180. Die Zahl der Kinder und Alten für 1620 lässt sich mit Hilfe der sog. „Alterspyramide“ ermitteln. Eine „Alterspyramide“ (Altersverteilung) ist die (zweidimensionale) Darstellung der Zahl der Menschen in einer bestimmten Altersgruppe. Die drei Grundtypen der Altersverteilung sind die klassische Pyramide (Dreieck) bei wachsender Bevölkerung, wo ein Geburtenjahrgang zahlenmäßig immer über dem vorhergehenden liegt, die Glockenform bei stationärer Bevölkerung und die Urnenform bei schrumpfender Bevölkerung [Imhof 1977]. Rechts die Altersverteilung im Deutschen Reich im Jahr 1900; es ist ein fast exaktes Dreieck.

Für 1620 kann man mit Sicherheit von einer Dreiecksform der Altersverteilung (wachsende Bevölkerung, keine ausgeprägten Wanderungsbewegungen) ausgehen. Fixiert man die Spitze des Dreiecks bei einem finalen Alter von 85 Jahren (siehe Bevölkerungsstatistik ), lässt sich bei bekannter Zahl von Erwachsenen und Ledigen die Altersverteilung für 1620 konstruieren (Kinder bis 22 Jahre, Erwachsene und Ledige zwischen 22 und 45 Jahren, Alte über 45 Jahren), siehe rechts. Die Zahl von Erwachsenen+Ledigen entspricht dem Flächeninhalt der mittleren trapezförmigen Fläche. Bei gegebener Höhe des Dreiecks und dem Flächeninhalt der mittleren Fläche ist das Dreieck vollständig bestimmt. Entsprechend werden die Zahlen der Kinder und Alten durch den Flächeninhalt der oberen bzw. unteren Fläche repräsentiert. Damit lässt sich die Zahl der Kinder und Alten für 1620 berechnen. Das Ergebnis ist: 275 Kinder und 135 Alte. Der mittlere Wert des Verhältnisses von Ledigen zu Erwachsenen beträgt 10 % (VLEW = 0,1), ein Wert, der sich aus den genealogischen Daten für das 17. und 18. Jhdt. abschätzen lässt. Dann ist EW+L = 200, und die Gesamteinwohnerzahl 1620 ist 610.

Die Simulation erfolgt durch Iteration in Einjahresschritten über den Zeitraum von 180 Jahren. Bei korrekter Simulationsbasis muss die Iteration GGP = GOP liefern, da das System auf GOP - GGP = 0 regelt. Die Genauigkeit ist besser als 1 %.

Das Simulationsprogramm bietet die Möglichkeit, die Iteration in Einzelschritten durchzutakten; die jeweilige Jahreszahl wird in „Jahr“ im obigen Diagramm angezeigt.

Die gesamte Iteration dauert mit einem zeitgemäßen Computer (Pentium i5, 8 GB Arbeitsspeicher, Betriebssystem und Simulationsprogramm auf SSD (Solid State Disk)) etwa 10 Millisekunden.

„Alterspyramide“ im Deutschen Reich 1900, IFAD, Institut für Angewandte Datenanalyse

Altersverteilung der Flörsheimer Bevölkerung 1620. Es lebten 610 Personen; 275 Kinder, 200 Erwachsene und Ledige und 135 Alte. (F=8,2 G=32/Jahr)

Verlauf der Sterberaten von Kindern (SRK) und Erwachsenen (SREW)

Computersimulation der Bevölkerungsentwicklung